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后缀数组基础题套路赏析

好久没写博客了,最近学了一下后缀数组,感觉收获颇丰,于是想写一篇博客纪念一下。特此申明一下,这里用的板子是YZH大佬的SAIS模板,然后小标题和题目用的是罗穗骞大佬2009年国集论文中的标题和例题,%%%。

单个字符串的相关问题#

不可重叠最长重复子串#

首先当然是对所有后缀进行排序,然后我们考虑二分答案,假设当前的长度是 ll,那么我们可以把排好序的后缀分成几段,其中每一段的lcp(height)都是大于等于ll的,于是我们记录一下每一段后缀中rl(sa)的最大值和最小值,如果最大值和最小值的差大于ll,那么就说明有不重叠的重复子串,反之则不然,这样的做法是O(nlogn)O(n\log n)的。当然,我们还可以有O(n)O(n)的做法,在尺取的同时,用单调队列维护一下rl(sa)的最大值和最小值,并且答案就是所有符合条件的lcp(height)的最大值。

Musical Theme#

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可重叠的k次最长重复子串#

首先可以用同上题的做法,二分答案ll,对于lcp(height)大于等于ll的每一段,看看是否长度超过kk,同样,这个方法的复杂度是O(nlogn)O(n\log n)的。但是我们可以发现,用尺取,每次取长度为kk的一段,同样可以把复杂度优化到O(n)O(n)

Milk Patterns#

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子串的个数#

我们可以发现,对于后缀排序是ii的后缀,以rl[i](sa[i])作为开头,并且以lcp[i](height[i])及其之前最为结尾的所有子串都会被重复计算,于是我们就不去记这一段对答案的贡献,于是我们所要求的答案就是i=1nnrl[i]+1lcp[i]\displaystyle\sum_{i=1}^nn-rl[i]+1-lcp[i],显然这样的做法的复杂度是O(n)O(n)的。

DISUBSTR - Distinct Substrings#

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最长回文子串#

我们考虑把一整个字符串复制一段并且翻转,接在原字符串的后面,中间用一个没出现过的字符连接,然后我们对这个新的字符串进行后缀排序,于是我们可以通过枚举中心节点来更新答案,其中中心节点需要根据长度的奇偶性来分类枚举,由于STST表预处理的复杂度是O(nlogn)O(n\log n)的,所以这个做法的整体复杂度也是O(nlogn)O(n\log n)的。当然,如果能够把RMQRMQ的复杂度降为O(1)O(1),那么就可以把整体复杂度降到O(n)O(n),具体的话就是笛卡尔树+TarjanTarjan

Palindrome#

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连续重复子串#

通过观察可以发现,如果一个串的连续重复子串的长度为ll,那么有串s[1]s[1]s[l+1]s[l+1]lcplcp等于nln-l,所以就只需要枚举一下总长度的因子就行,然后lcplcp可以用STST表求得,这样做的复杂度是O(nlogn)O(n\log n)的。当然还能进行优化,由于RMQRMQ的一端是固定的,于是可以用一个数组O(n)O(n)处理,这样就可以把复杂度降到O(n)O(n)

Power Strings#

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重复次数最多的连续重复子串#

我们考虑枚举长度ll为重复周期,那么就可以发现s[1],s[1+l],,s[1+x×l]s[1],s[1+l],\cdots,s[1+x\times l]一定会在一个连续重复子串中,于是对于s[1+a×l]s[1+a\times l]s[1+a×l+l]s[1+a\times l+l],他们的lcplcp就是最长能往后延伸的长度,如果lcplcp不能被ll整除,就看看能否往前再延伸一小段距离使得当前的答案增加一,然后算一下复杂度是O(i=1nni)\displaystyle O\left(\sum_{i=1}^n{n\over i}\right)O(nlogn)O(n\log n)的。

Maximum repetition substring#

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REPEATS - Repeats#

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两个字符串的相关问题#

最长公共子串#

我们考虑把两段用一个没出想过的字符连起来,把这个新的字符串进行后缀排序。可以发现,最长公共子串一定出现在相邻两串的lcplcp中,这样的复杂度是O(n)O(n)的。

Long Long Message#

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Freedom of Choice#

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长度不小于k的公共子串的个数#

我们先按之前的方法连接字符串并且进行后缀排序,然后对于两个位于不同串的后缀,他们对答案的贡献很好处理,但是有这么多后缀,于是考虑怎么优化。我们首先对于每一个串BB的后缀,计算它与它之前出现过的串AA的后缀对答案的贡献,然后对串AA也是同样,同时我们可以用一个单调栈进行优化,这样的复杂度是O(n)O(n)的。

Common Substrings#

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多个字符串的相关问题#

出现在不小于k个字符串中的最长子串#

我们先把所有串都连在一起,并且中间用没出现过的并且互不相同的字符相连,然后对新串进行后缀排序,然后同样我们可以二分长度ll,对于lcp大于等于ll的每一段,看是否出现在不少于kk个串中,这样的复杂度是O(nlogn)O(n\log n)的,当然可以参照之前的方法,用尺取+单调队列把复杂度优化到O(n)O(n)

Life Forms#

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在每个串中都至少出现两次且不重叠的最长子串#

先像之前那样构造新串并进行后缀排序,然后二分答案ll,对于lcp大于等于ll的每一段,记录在每个串中rl的最大值和最小值,并进行判断即可,这样的复杂度是O(nlogn)O(n\log n)的。

PHRASES - Relevant Phrases of Annihilation#

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出现或反转后出现在每个字符串中的最长子串#

把每个串都复制一遍并翻转然后用2×n2\times n个没出现过的且互不相同的字符连接这些字符串,再把新串进行后缀排序,二分长度ll,对于lcp大于等于ll的每一段,看是否在每个串中都出现过,这样的复杂度同样也是O(nlogn)O(n\log n)的。

Substrings#

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后缀数组基础题套路赏析
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作者Author
逸少( ̄^ ̄)ゞJerry Black
发布于Published at
2022-08-23
许可协议License
CC BY-NC-SA 4.0